†Corresponding author: 연회원, 한국해양대학교 IT공학부 교수 서 론
프랙탈 이론(Fractal theory)은 자연에서 발견되는 복잡한 기하학적 구조를 효과적으로 모델링해주는 도구로써, 자기 유 사성과 순환성을 특징으로 하고 있다(Mandelbrot, 1967). 형상 의 일부분을 확대한 후 회전하거나 반대로 전체를 축소한 후 회전하면 그 모양이 전체 또는 일부분과 같거나 통계적으로 비슷한 구조를 갖게 되며 이러한 성질을 ‘자기유사성 (self-affinity)'이라고 하고, 단순한 구조가 끊임없이 반복되는 성질을 ‘순환성(recursiveness)' 이라 한다. 프랙탈 구조는 주 위에서 볼 수 있는 해안선, 강과 지류, 나무, 벼락 등과 같은 비결정형과 수학적 규칙에 따라 만드는 만델브로트 집합, 시 어핀스키 삼각형, 시어핀스키 카페트 등과 같은 결정형으로 구분된다.
Pentland는 프랙탈 표면의 매끈함(smoothness)과 거침 (roughness) 사이의 정도, 즉 기하학적 불규칙성을 인식하는 인간의 지각이 프랙탈 차원과 매우 밀접한 관계가 있음을 밝 혔다(Pentland, 1984). 현재까지 프랙탈 차원을 추정해주는 여 러 가지 방법들이 제안되어 왔으나, 박스 계수(BC: Box-Counting)법, 삼각프리즘(triangular prism)법, 프랙셔널 브라운운동(Fractional Brownian motion)법 등이 대표적이고 그 중에서도 BC법이 단순하면서도 신뢰성이 높아 공학, 과학, 의료, 지질학 등의 분야에서 쓰이고 있다.
Jin et al.(1995)은 합성과 자연 질감의 이미지의 프랙탈 차 원추정에 적용하였고, Yu et al.(2005)은 사람의 홍채 이미지 를 상하 두 그룹으로 나눠 인식하는 문제에 적용하였고, Shyu et al.(2011)은 태아의 대뇌 피질 표면의 복잡성 측정에 적용하 였다. 또 Lin et al.(2013)은 분지의 하천 유량의 프랙탈 차원 을 구하는데 적용하였고, Barakou et al.(2015)은 분산 네트워 크의 프랙탈 차원을 계산하고 프랙탈 확장 모델을 이용하여 가상의 분산 네트워크를 만드는데 적용하였다.
또 BC법의 정밀도 높이는 문제와 관련하여 Foroutan-pour et al.(1999)은 프랙탈 도형을 둘러싸고 있는 사각 프레임의 적 절한 크기와 그 한계치 문제를 다루었고, Bisoi and Mishra(2001) 또한 박스 크기의 한계치 문제를 다루었고, Milošević와 Elston(2013)는 박스 크기를 적절히 조절하여 비 선형 성질을 가지는 회귀분석 데이터를 제거하는 방법을 제안 하고, 이를 신경세포의 프랙탈 차원을 추정하는데 적용하였다. Kaewaramsri and Woraratpanya(2015)는 기존의 정사각형 박 스를 두 개의 삼각형으로 분할하여 박스 계수의 정확성을 높 이도록 GS법을 쓰는 TBC(Triangular Box-Counting)을 제안 하였다.
현재까지 제안된 대부분의 프랙탈 차원 추정법들은 이미지 를 δ × δ 크기의 격자로 분할할 때 사용되는 스텝크기 δ를 2의 거듭제곱 수로 하는 기하학적 스텝(Geometric Step: GS)법 (Clarke, 1986)을 쓰고 있다. 이 때문에 BC법은 다루는 이미지 에서 픽셀이 낭비되지 않도록 그 크기를 M ×M = 2m × 2m(m 은 양의 정수)으로 한정하게 된다. 하지만 실제 환경에서 존재 하는 해안선, 강의 지류, 산맥, 식물 등은 그 모양이 제각각이 어서 이들의 이미지를 취득할 때 크기도 제각각일 수밖에 없 어 이런 곳에 BC법을 적용하면 사용 못하고 버리는 픽셀이 생겨 성능저하가 불가피하다.
따라서 본 연구에서는 기존의 BC법의 문제점을 해결하기 위하여 분할된 이미지를 계수할 때 크기가 δ × δ인 블록들은 기존의 방식대로 프랙탈이 포함되면 1 아니면 0으로 정수 계 수하고, 나머지 블록들도 프랙탈이 포함되면 실수 계수하고 아니면 0으로 계수해서 합산하는 새로운 BC법을 제안한다. 실수 계수되는 블록은 δ × δ 블록에 들어 있는 평균 프랙탈 픽 셀 수 대비 해당 블록 내에 들어 있는 프랙탈 픽셀 수와 δ × δ 블록의 크기 대비 해당 블록의 크기의 곱으로 계수되며, 그 결 과는 1을 넘지 않도록 한다.
제안된 BC법은 차원이 알려진 두 결정형 프랙탈 이미지를 대상으로 절대오차의 평균값(MAE: Mean Absolute Error)을 평가지수로 하여 그 성능을 확인하며 기존의 BC법과 Kaewaramsri 등이 제안한 TBC법과 비교하며 그 유효성을 밝힌다. 또 비결정형 프랙탈 구조인 한반도와 조도의 해안선 의 이미지에 적용하여 프랙탈 차원을 구하고 그 복잡성을 계 량한다.
기존의 BC법
M ×M 픽셀의 이진 이미지가 주어질 때 박스 계수(BC)법 은 프랙탈 구조의 자기유사성 성질을 활용하여 스텝크기 δ를 달리하면서 격자로 분할하고 프랙탈 도형을 완전히 덮는데 요 구되는 최소한의 박스 개수 N(δ)를 세는 과정을 반복하여 프 랙탈 차원을 구하게 된다. 프랙탈 차원 D는 log(1-δ)- log(N(δ)) 그래프의 기울기가 되며 다음과 같이 쓸 수 있다.
이때 격자 분할에 사용되는 δ는 성능에 직접적으로 영향을 주며, δ를 정하는 일련의 과정을 샘플링이라 한다. 대표적인 방법으로는 기하학적 스텝(GS)법, 산술적 스텝(arithmetic step)법, 제수 스텝(divisor step)법이 있다.
GS법은 log-log 좌표 상의 데이터 간에 간격이 같도록 2의 배수로 커지는 기하학적 수(geometric number), 즉 2의 거듭 제곱의 수들을 사용하게 되나, M이 클 때 추정 정밀도를 높 일 수 있는 스케일의 데이터가 부족한 것이 단점으로 지적된 다. 그럼에도 불구하고 대부분의 프랙탈 차원 추정법들은 GS 법을 채용하고 있어 본 연구에서도 이를 이용한다. GS법을 M ×M 이미지에 적용하면 δ= 1, 2, 4, ..., 2m-1이 되고, m = log2(M)이다.
δ가 정해지면 다음 절차는 이미지를 δ × δ 크기의 격자로 분할하고 (i,j)번째의 격자에 프랙탈 도형이 포함되면 ni,j = 1, 아니면 ni,j = 0으로 계수해서 식 (2)와 같이 N(δ)를 구하게 된다.
예로 16 × 16 시어핀스키 삼각형 이미지가 주어질 때 m = log2(16) = 4이고 δ= 1, 2, 4, 8이 되므로 각 δ 에서 박스 를 계수하면 Table 1과 같은 결과를 얻게 된다.
Table 1의 데이터가 얻어지면 D는 log(1-δ)-log(N(δ)) 그 래프 상에 이들을 점철한 근사 직선이나 최소자승법을 써서 구할 수 있다. 다음은 첫째 값과 마지막 값으로 계산된 예를 보여주며, 이 근사 값은 이론 값 D= 1.585(Table 3 참조)에 근 접함을 알 수 있다.
Table 3.
Test images for experiments
| Step size δ | Name of image | Image | Dimension | Level |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Sierpinski triangle |
|
1.585 | 5~9 |
| 2 | Sierpinski Carpet |
|
1.893 | 3~7 |
다음은 BC법의 알고리즘을 나타낸 것이다.
제안하는 BC법
앞서 설명하였듯이 기존의 BC법은 GS법으로 샘플링을 하 고 있어 버리는 픽셀이 없도록 사용되는 이미지의 크기를 M ×M= 2m × 2m(m은 양의 정수)으로 가정하고 있다. 하지만 해안선, 강, 산맥 등 실제 환경에서 취득되는 이미지의 크기는 다양할 수밖에 없다. 따라서 본 연구에서는 임의 크기의 이미 지에 BC법을 적용할 때 발생되는 픽셀 낭비 문제를 보완하기 위하여 실수 계수법을 제안한다.
이미지가 M ×N일 때 분할은 짧은 면의 길이를 기준으로 해야 하므로 L = min(M,N)이면 GS법의 스텝크기는 δ= 1, 2, 4, ..., 2ℓ-1이 되고, 이때 ℓ= int(log2(L))이다. δ가 정해지고 m = int(M/δ), N = int(N/δ)이면, 이미지는 다음과 같이 분 할되며 각 블록은 정사각형 또는 직사각형 모양이 된다.
M = mδ이고 N = nδ일 때 : δ × δ 픽셀의 블록 m·n개로 균등 분할된다.
M > mδ이고 N = nδ일 때 : δ × δ 픽셀의 블록 m·n개와 (M - mδ) × δ 픽셀의 블록 n개로 분할된다.
M = mδ이고 N > nδ일 때 : δ × δ 픽셀의 블록 m·n개와 δ × (N - nδ)픽셀의 블록 m개로 분할된다.
M > mδ이고 N > nδ일 때 : δ × δ 픽셀의 블록 m·n개, (M - mδ) × δ 픽셀의 블록 n개, δ × (N - nδ)픽셀의 블록 m개와 (M - mδ) × (N - nδ)픽셀의 블록 1개로 분할된다.
Fig. 1는 17 × 21이미지가 δ= 1, 2, 4, 8로 분할된 예를 보여 준다. 이때 ℓ = int(log2(17)) = 4이다. 그림에서 확인할 수 있 듯이 만약 기존의 BC법을 적용하게 되면 δ= 1을 제외하고는 버리는 픽셀 블록이 발생하게 된다.
따라서 위와 같이 이미지가 격자로 분할되면 (i,j) 블록은 다음 두 가지 중 하나로 계수된다.
여기서 pij는 (i,j) 블록 내에 들어있는 프랙탈 도형의 픽셀 수, pδ는 1로 계수되는 δ × δ 크기의 블록 내에 들어있는 프랙 탈 도형의 평균 픽셀 수를 나타낸다.
일례로 δ= 8인 Fig. 2(d)에서 보면, m = int(21/8)=2, n = int(17/8)=2이므로 4개 블록은 각 1로 계수되고, 크기가 8 × 5인 (2,3) 블록 1개는 다음과 같이 실수 계수된다. 4개 블 록에 들어있는 프랙탈 도형의 평균 픽셀 수는 pδ = 9.25이고 p2,3=9이므로
이 된다. 따라서 N(δ)= 4+0.61= 4.61이다. 각 δ에 대해 N(δ) 가 얻어지면, 본 방법에서는 최소자승법으로 프랙탈 차원을 구하게 된다.
실험 및 결과 검토
4.1. 결정형 프랙탈 이미지에서 실험
먼저 제안된 추정법의 성능을 이론적 프랙탈 차원이 잘 알 려진 두 도형에서 평가하고 기존의 BC법과 Kaewaramsri 등 (2015)이 제안한 TBC의 결과와 비교한다. 이를 위해 Table 3 의 시어핀스키 삼각형과 시어핀스키 카페트를 사용하고, 이들 을 수식으로 그린 다음 256×256 픽셀의 이진 이미지로 변환하 였다. 프랙탈 차원의 추정치는 도형을 그릴 때 적용되는 레벨 에 따라 약간의 차이가 생길 수도 있어 각 도형마다 5개의 레 벨에서 그린 이미지들을 사용하였고, 따라서 총 10개가 된다.
프랙탈 추정법의 성능을 정량적으로 계량하기 위해 추정된 차원 Di와 이론적 차원 Dt의 절대오차의 평균값(MAE : Mean Absolute Error)을 평가지수로 사용하였다.
여기서 w는 실험에 사용된 총 이미지 수이다.
세 방법의 성능을 평가하기 위해 앞서 얻은 256×256 이미 지를 원본으로 해서 M ×N 서브 이미지(sub image)를 취할 때 두 가지 시나리오를 사용하였다. 하나는 M을 128 또는 256로 고정하고 N을 128에서 256까지 2씩 높이면서 좌상단을 기점으로 M ×N 픽셀을 취하는 것이고, 다른 하나는 M을 191로 고정하고 N을 같은 방법으로 변경하는 것이다. Fig. 3 은 이를 도식적으로 보여준다.
첫 번째 시나리오에 따른 실험은 시어핀스키 삼각형(레벨 5~9)과 시어핀스키 카페트(레벨 3~7)에서 수행되었다. 시어 핀스키 삼각형의 경우 M=128로, 시어핀스키 카페트의 경우 M = 256으로 고정하고 각각 1/4, 1/2 크기의 서브 이미지를 가 지고 시작하도록 N을 변경하면서 MAE를 구하였고 Fig. 4와 Fig. 5는 이를 그린 것이다.
Fig. 4에서 확인할 수 있겠지만 초기 서브 이미지에는 흰 배경과 1/2 크기의 삼각형만 들어있어 어려운 실험 환경(Fig. 3 참조)이지만 제안하는 방법은 N이 증가하여 큰 삼각형(세 개 중 위의 도형)이 완성되는 단계까지는 MAE가 줄고, 그 이 후부터는 또 흰 배경이 추가되면서 MAE가 약간 늘어나는 것 을 볼 수 있다. 전반적으로 MAE는 0.08 이하이고 N의 크기 에 민감하지 않으면서 좋은 성능을 내는 것을 알 수 있다. 이 에 비해 나머지 두 방법은 부분적인 프랙탈 도형에 대해서는 성능이 좋지 못할 뿐만 아니라 N의 크기에 민감함을 알 수 있다. 특히 흥미로운 사실은 두 방법들의 추정치가 평균 픽셀 낭비율(버리는 픽셀수/전체 픽셀수)에 따라 변동한다는 것을 확인할 수 있었다. 또 시어핀스키 카페트에서 수행된 Fig. 5의 실험 결과에서도 알 수 있듯이 제안된 방법의 성능이 전반적 으로 우수함을 보여주고 있다.
4.2. 비결정형 이미지에서 실험
다음은 휴전선 이남의 우리나라 동해, 남해, 서해와 한국해 양대학교 캠퍼스가 위치한 조도 해안선의 복잡성, 즉 들쑥날 쑥한 정도를 알아보기 위해 시험을 실시하였다. 해안선은 Google 지도로부터 약 1:700,000 축적의 RGB 이미지를 얻고, 해안선을 검출한 다음 그레이 레벨 이미지로 변환하고, 다시 이진(black/white) 이미지로 변환하였다. Fig. 8은 그 처리과 정을 보여준다. 해안선 검출에는 MATLAB에서 제공하는 Canny 알고리즘을 사용하였다.
Fig. 9-12는 처리된 해안선 이미지와 그 크기를 보여준다. 이때 도서지방의 작은 섬들은 프랙탈 추정과는 무관한 것으로 간주되어 삭제되었고, 남해안의 큰 섬들은 교량으로 연결되어 있지만 편의상 지형적으로 연결된 것으로 간주하였고, 특히 강의 하구는 완만하게 연결된 것으로 처리하였다.
잘 알 수 있듯이 비결정형 프랙탈 구조인 해안선을 실험대 상으로 할 때 그 이론적 프랙탈 차원 값을 아는 것은 불가능 하므로 각 방법의 성능을 직접 비교할 근거가 없어 앞서와 같 이 MAE를 계산할 수 없다는 한계가 있다. 그렇지만 우리는 직관을 통해 이미지의 상대적인 복잡성을 유추해볼 수 있다. Table 4는 세 방법으로 프랙탈 차원을 추정한 결과를 요약한 것이다.
Table 4.
Estimated results of the three methods for the coastline images
| No | Coastline | Fractal Dimension | ||
|---|---|---|---|---|
| BC | TBC | Proposed | ||
| 1 | Eastern | 1.083 | 1.098 | 1.037 |
| 2 | Southern | 1.283 | 1.264 | 1.273 |
| 3 | Western | 1.267 | 1.262 | 1.241 |
| 4 | KMOU | 1.131 | 1.114 | 1.095 |
Table 4에서 보면 세 방법 다 비슷한 결과를 주고 있고, 직 관적으로 서해안과 남해안의 해안선이 좀 더 복잡하게 보이므 로 짐작할 수 있듯이 좀 더 크게 나왔고, 동해안과 선박 접안 부두와 같은 인공 구조물이 조성된 조도의 해안선은 상대적으 로 작게 나왔다. 차원이 크다는 것은 구조가 더 복잡하다는 것 을 나타낸다. 본 방법의 결과에 의하면 한반도 해안선의 프랙 탈 차원은 대략 1.03과 1.28 사이에 있는 것으로 여겨진다. 이 결과는 영국의 서쪽 해안선의 차원이 D= 1.25, 스페인과 포르 투갈 사이의 국경선의 차원이 D= 1.14인 결과와도 유사함 (Mandelbrot, 1967)을 알 수 있다.
결 론
GS 샘플링을 채용하는 BC법을 M ×N 이미지의 프랙탈 차 원 추정에 적용할 때 버리는 픽셀로 인해 일어나는 성능저하 문제를 해결하기 위해 기존의 정수 박스 계수법을 확장하여 실수 계수하는 새로운 BC법을 제안하였다. 개선한 BC법을 차 원을 아는 두 결정형 프랙탈 도형에 적용하고 기존의 BC법과 Kaewaramsri 등이 제안한 TBC법의 성능과 비교 평가한 결 과 부분적인 도형에도 잘 동작하며 또 이미지의 크기에 민감 하지 않고 더 우수한 것을 확인할 수 있었다. 또 한반도와 조 도의 해안선의 복잡성을 계량하기 위해 프랙탈 차원을 추정한 결과 D= 1.03-1.28 임을 확인할 수 있었다. 후속 연구로 개선 된 샘플링법과 실수 계수법을 결합하여 BC법의 성능을 더욱 개선하는 문제와 더 상세한 해안선 이미지를 가지고 실험을 실시할 예정이다.
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