†Corresponding author : 정회원, 1. 서 론
최근 해수면 상승과 이상기후로 인해 고파랑의 내습 빈도 가 증가하면서 연안 및 항만 구조물의 피해사례가 증가하고 있다. 이러한 상황에 대응하기 위해 고파랑에 의한 파랑 에너지를 효과적으로 소산시키고 항만 구조물을 보호하기 위한 고중량 피복블록을 활용한 설계 및 보강사업이 활발히 진행되고 있다. 우리나라에서 피복블록의 안정성 검토는 항만 및 어항 설계기준인 KDS 64 10 10(MOF, 2020)에 따라 실내 수리모형실험 및 Hudson(1953)과 van der Meer(1987)의 안전중량 산정식을 통해 이루어지고 있으며, 이를 통해 개별블록의 소요안정 중량을 확보하고 있다.
국내에서 가장 많이 사용되고 있는 피복블록인 테트라포드(Tetrapod)는 64 ton급 이상의 경우 구조적 안정성 문제를 유발할 가능성이 있다는 우려가 있으며, BS(British Standard) 역시 30 ton급 이상의 테트라포드 사용을 권장하지 않고 있다(KORDI, 2011). 이에 본 연구에서는 64 ton급 이상의 중량을 갖는 피복블록을 고중량 피복블록이라 정의한다. 한편, 이러한 고중량 테트라포드의 구조적 안정성 문제는 고파랑 대응 한계로 대두되었으며, 이에 따라 국내에서는 고파랑 내습 시에도 충분한 안정성을 확보할 수 있는 Sealock-VII 및 Dolos-II와 같은 100 ton급 이상의 신형식 고중량 피복블록이 주로 적용되고 있다.
그럼에도 불구하고, 최근 충분한 소요 안정 중량을 확보한 고중량 피복블록이 설계 파랑보다 작은 규모의 내습 파랑에 의해 적층된 위치에서 이탈되는 피해사례가 보고되고 있다. 본 연구에서는 파고 11.20 m, 주기 16.43 sec의 설계 파랑에 대해 내파안전성을 확보하도록 설계되었지만, 설계 파랑보다 더 작은 10.23 m, 주기 15.57 sec 규모로 측정된 2022년 제 11호 태풍 힌남노 내습으로 피해가 발생한 부산항 오륙도 방파제에 설치된 Sealock-VII(100 ton급)의 피해사례를 바탕으로 피복블록 활동에 관한 신뢰성 해석을 수행하여 고중량 피복블록의 안정성을 정량적으로 평가하고자 한다. 이를 통해 피복블록의 소요 중량 산정에 대한 기존의 결정론적 설계법 및 신뢰성 해석에 기반한 설계법의 한계를 고찰하고자 한다.
2. 신뢰성 해석의 이론
신뢰성 해석은 구조물의 내용기간 중 발생할 수 있는 파괴모드(failure mode)에 대해 성능함수(performance function)를 정의하고, 이를 구성하는 확률변수들의 통계적 특성을 활용하여 파괴모드의 발생빈도를 확률론적으로 산정하는 방법론이다. 일반적으로 신뢰성 해석 방법은 Level I, II, III로 구분되며, 추가적으로 경제성을 고려한 Level IV 방법이 포함될 수 있다. 본 연구에서는 구조물의 안정성을 평가하기 위해 Level I, II, III 해석방법만을 다루며, 이하에서는 각 방법의 이론적 배경을 요약하여 기술한다.
신뢰성 해석 수행 시 파괴모드에 대한 성능함수 Z는 식 (1)과 같이 정의할 수 있으며, 설계자의 판단에 따라 Z=R/S-1 등의 다양한 형태로 표현될 수 있다.
여기서, R은 저항함수, S는 하중함수로 이는 확률변수 X1, X2, X3,⋯Xn의 함수로 정의된다. 성능함수에 따른 파괴모드는 여러 개로 나타날 수 있으며, 이들 사이에 상관관계가 존재할 수 있다.
단일 파괴모드에 대한 파괴확률(Pf)은 식 (2)와 같이 성능함수의 값이 양의 값을 가지는 경우에는 발생하지 않으며, 0 또는 음의 값을 갖는 경우로 산정된다.
전술한 바와 같이, 설계자가 정의한 성능함수에 대하여 발생 가능한 여러 파괴모드의 파괴확률은 식 (3)과 같이 나타낼 수 있으며, 각 파괴모드가 상호 독립적이라면 식 (4)를 통해 간단히 계산할 수 있다.
또한, 단일 파괴모드에 대하여 저항함수와 하중함수가 상호 독립이며 정규분포를 따르는 선형함수라고 가정할 경우 저항함수와 하중함수는 N(μR, σR), N(μS, σS)의 통계적 특성치를 가진다. 이 경우 식 (1)로 정의된 성능함수 역시 정규분포를 따르는 선형 형태를 가지며, 중심 극한 정리에 의해 식 (5)와 같은 통계적 특성치를 산정할 수 있다.
한편, 신뢰성 해석에서는 성능함수의 파괴확률을 정량적으로 평가하기 위해 성능함수의 특성치로 정의되는 안전성지표(β)를 도입한다. 안전성지표는 식 (6)과 같이 정의되며, 이를 기반으로 한 파괴확률은 식 (7)과 같이 산정된다.
여기서, Φ(·)는 표준정규분포의 누적분포함수이다.
2.1 설계수준 Level I
Level I 해석방법은 파괴모드를 구성하는 하중함수와 저항함수에 각각 부분안전계수를 적용하여 구조체가 안정성을 만족하도록 부분안전계수를 산정하는 방법으로, 이는 식 (8)과 같이 나타낼 수 있다.
여기서, Rn과 Sn는 파괴모드를 구성하는 저항함수와 하중함수의 공칭값이며, ϕ는 저항함수의 부분안전계수, γ는 하중함수의 부분안전계수이다. Level I 해석방법에서 각 함수의 부분안전계수는 모멘트법과 역해석법 등을 통해 산정될 수 있으며, 본 연구에서는 역해석법을 이용하여 부분안전계수를 산정하였다.
역해석법은 다음에 후술하는 Level II 해석방법의 역 해석 과정을 통해 허용안전성지표(βa)에 대해 성능함수 Z=0 상의 파괴점 x ∗ = ( x 1 ∗ , x 2 ∗ , ⋯ x n ∗ ) x i * ( β a )
또한, 식 (9)에서 허용안전성지표에 대한 파괴점을 확률변수 Xi의 공칭값으로 적용하여 Xi,n의 형태로 나타내면 다음과 같이 나타낼 수 있다.
여기서, n은 성능함수를 구성하는 확률변수의 총 수, n1은 저항함수에 관한 확률변수의 수, n2는 하중함수에 관한 확률변수의 수(n=n1+n2)이다. 식 (9)와 식 (10)을 통해 부분안전계수는 다음과 같이 정리된다.
성능함수가 Z=R-S로 정의되고, 저항함수와 하중함수에 각각의 공칭값을 적용하면 성능함수는 식 (12)와 같이 표현될 수 있으며, 후술하는 Level II 해석방법인 FOSM법(First-Order Reliability Method)을 통해 산출된 부분안전계수는 식 (13)과 같이 정의된다.
여기서, VR VS는 각각 저항함수와 하중함수의 변동계수이다.
2.2 설계수준 Level II
Level II 해석방법은 안전성지표를 이용하여 파괴확률을 산정하는 과정으로, 성능함수를 구성하는 확률변수의 특성치를 조정하여 안전성지표가 허용안전성지표를 만족하도록 반복계산을 수행하는 방식이다. Level II 해석방법에는 성능함수의 선형화 과정에서 Taylor 급수를 1차항까지만 적용하는 FORM(First-Order Reliability Method)와 2차항까지 고려하는 SORM(Second-Order Reliability Method)이 있다.
본 연구에서는 FORM을 적용하였으며, FORM은 성능함수에서 저항함수와 하중함수가 상호 독립적이고, 정규분포를 따른다는 가정하에 안전성지표를 산정하여 파괴확률을 결정한다. 그러나, 실제 파괴모드의 확률변수들에 대해 이 모든 가정 을 적용하는 데는 어려움이 따르므로, 본 연구에서는 성능함수를 구성하는 확률변수들이 상호 독립이라는 가정 하 AFDA(Approximate Full Distrbution Approach)법을 적용하였다. 이 방법을 통해 임의 분포를 따르는 확률변수로 구성된 성능함수에 대해 파괴점 근처에서의 선형 근사 및 정규화 근사를 수행하고, 안전성지표를 사용하여 파괴확률을 산정하였다. 다음으로 파괴점 근처에서의 선형 근사 및 정규화 근사에 대해 간략히 기술한다.
파괴점 근처에서의 선형 근사를 위해 성능함수를 임의의 x ′ = ( x 1 ′ , x 2 ′ , ⋯ x n ′ )
이후, 식 (14)의 임의점에 파괴점을 대입하여 식 (15)와 같이 파괴점 근처에서 선형 근사 된 성능함수를 얻으며, 식 (16)을 통해 파괴점 근처에서 선형 근사된 성능함수의 특성치를 산정할 수 있다.
다음으로 임의의 분포를 갖는 확률변수 Xi에 대한 선형 근사를 수행한다. 임의의 분포를 갖는 확률변수의 누적분포함수 F X i ( x i ∗ ) f X i ( x ∗ )
이를 통해 임의의 분포를 따르는 확률변수 Xi는 N ( μ X i ′ , σ X i ′ )
이상의 과정을 통해 성능함수는 파괴점 근처에서 선형 근사되고, 성능함수를 구성하는 확률변수들은 모두 정규분포를 따르게 된다. 한편, 상기 식들을 통해 확률변수의 특성치를 산정할 때 미지의 파괴점 x ∗ i
안전성지표는 허용안전성지표를 만족하도록 반복 수행되며, 허용안전성지표를 만족하는 확률변수의 특성치를 통해 파괴확률을 산정한다.
2.3 설계수준 Level III
Level III 해석방법은 파괴모드에 관계하는 불확정요인의 통계적 특성치가 모두 알려져 있다는 전제하에 단일 파괴모드에 대한 파괴확률을 수치실험적으로 계산하는 방식이다. 대표적인 방법으로는 Monte Carlo Simulation이 있으며, 이는 성능함수를 구성하는 확률변수에 대해 해당 변수의 통계적 특성치를 만족하는 충분한 수의 샘플 난수(Random number)를 추출하여 성능함수에 대입한 후, 안전성을 검토하는 방법이다. 시뮬레이션 시행횟수가 충분히 크다면 파괴확률은 식 (24)와 같이 근사적으로 산정된다.
여기서, K는 시뮬레이션의 전체 시행횟수이며, k는 파괴확률 발생 횟수이다.
성능함수를 구성하는 확률변수 x의 추출은 임의 분포를 갖는 확률변수의 분포함수 FX(x)와 [0,1]구간 사이에서 생산되는 균등난수 u를 통해 식 (25)와 같이 생성할 수 있다.
여기서, F X − 1 ( ⋅ ) F X ( ⋅ )
3. 신뢰성 해석 결과
신뢰성 해석을 통해 실제 오륙도 방파제 설계 시 적용된 설계파고와 힌남노 내습 시 계측된 파고로부터 고중량 피복블록의 안전성에 대한 파괴확률을 산정하고, 해석결과와 선행 연구사례들과의 비교·검증을 수행한다. Level I 해석은 역해석법 수행을 위해 Level II 해석 이후 수행하며, 수치실험법인 Monte Carlo Simulation을 이용하여 Level III 해석을 수행한다.
3.1 해석조건
여기서, ρr은 피복블록의 밀도, Sr은 피복블록의 비중, Ns는 피복블록의 형상, 경사, 피해율 등에 의해 결정되는 안정수이고, HS는 유의파고, Dn은 피복블록의 공칭직경, KD는 피복블록별 안정계수, cotα는 사면경사, A는 Hudson식 자체의 불확실성을 고려하기 위해 도입된 확률변수이다. 성능함수를 구성하는 확률변수의 통계적 특성치와 분포함수를 Table 1에 제시하였으며, 모든 확률변수들은 상호 독립으로 가정하였다.
확률변수들의 특성치는 Kim and Lee (2004), Kim et al. (2005), Kim et al. (2009) 및 KORDI(2011) 등에서 제시한 값들을 참조하여 사용하였다. 피복블록의 통계적 특성치는 실제 적용된 SEALOCK-VII의 공칭직경 범위(3.504 ~ 3.510 m) 내에서 10,000개의 균등난수를 생성하여 산정한 통계적 특성치 값을 사용하였다. 또한, 파고에 대한 특성치는 심해파고의 50년 최대통계량 변동계수를 적용하였으며, 파고의 50년 최대통계량에 대한 특성치는 다음과 같이 정의된다.
여기서, λ는 심해파고분포의위치모수(location parameter), κ는 척도모수(scale parameter)이, γ는 오일러 상수 (=0.5772)이다.
3.2 설계수준 Level II 해석결과
FORM법 적용을 위해 I형극치분포(Gumbel)를 따르는 파고 분포에 대해 Rackwitz-Fiessler 변환을 수행하여 정규분포로 변환하였다. Gumbel 분포의 확률밀도함수 f(x) 및 누적분포함수 F(x)는 다음과 같다.
본 연구에서는 초기 파괴점을 설계파고와 힌남노 내습 시 파고로 설정하여 파괴점 및 방향여현, 안전성지표를 산정하였다. 안전성지표의 수렴을 위한 반복계산은 n번째와 n-1번째의 차이가 0.0005 이하로 수렴하도록 수행하였다. Table 2에 반복계산을 통해 산정된 힌남노 내습 시 확률변수에 대한 방향여현 및 안전성지표를 제시하였다.
한편, 방향여현은 민감도 지수라고도 불리며, 이는 각 확률변수가 설계에 미치는 영향을 나타낸다. Table 2에 제시된 바와 같이 성능함수의 불확실성에 대한 민감도 지수는 저항함수의 확률변수 중에서 가장 큰 영향을 미침는 것으로 확인되었으며, 피복블록의 공칭직경에 대한 민감도 지수는 가장 낮은 것으로 나타났다. 이는 확률변수 특성치로 산정되는 변동계수(coefficient of variation)의 영향으로, 피복블록 공칭직경의 특성치 산정 시 설계에서 적용한 범위를 만족하는 균등난수에서 추출된 값만을 이용하였기 때문으로 판단된다.
힌남노 파랑 내습 시 오륙도 방파제에 사용된 고중량 피복블록의 안전성에 대한 Level II 해석 결과, 안전성지표 는 2.27로 나타났으며, 표준정규분포의 누적분포함수에 의해 산정된 파괴확률은 1.15%로 평가되었다. 이는 Kim et al.(2009)이 수행한 국내 무역항에 설치된 피복블록의 평균 파괴확률인 1.70% 대비 32.35% 낮은 값이며, 오륙도 방파제 설계파 내습 시 피복블록 파괴확률인 1.63% 대비 29.45% 낮은 값이다. Table 3에 오륙도 방파제 피복블록에 대한 Level II 해석결과를 요약하여 제시하며, Fig. 2에는 국내 무역항에 설치된 피복블록의 파괴확률(Kim et al., 2009)과 오륙도 방파제에 사용된 고중량 피복블록의 설계파고 및 내습파랑에 대한 파괴확률을 비교하여 보인다.
여기서, P f 50
Fig 3은 오륙도 방파제 피복블록의 중량변화에 따른 사용연수 50년에 대한 Level II 해석결과를 보인다. 실제 오륙도 방파제에 사용된 100 ton급 고중량 피복블록의 사용 연수 50년에 대한 파괴확률은 Hudson식으로 산정된 한계상태 중량 (79 ton)의 파괴확률 대비 설계파의 경우 21%, 힌남노의 경우 25% 더 낮은 값으로 산정되었다. 이로부터 Level II 해석을 통한 오륙도 방파제에 적용된 고중량 피복블록의 안전성 검토 결과, 충분한 안전성이 확보된 것으로 판단된다.
3.3 설계수준 Level I 해석결과
Level I 해석을 위해 식 (12)의 설계 기준식 공칭값에 평균치 적용하였다. 이를 통해 설계기준 및 하중함수와 저항함수의 부분안전계수를 다음과 같이 도출하였다.
또한, Level I 해석의 설계기준식을 Hudson식에 대입하여 피복블록 직경에 대해 정리하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.
여기서, H S ′
본 연구에서는 부분안전계수 산정을 위해 방향여현과 허용안전성지표 값을 Level II 해석에서 얻어진 확률변수의 방향여현 값과 안전성지표로 각각 사용하여 부분안전계수를 산정하였다. Table 4와 Table 5에 설계파랑 및 힌남노 파랑 작용 경우에 대한 허용파괴확률별 저항함수와 하중함수의 부분안전계수를 및 결정론적으로 산정된 피복블록 직경 및 중량을 제시하였다.
Table 4와 Table 5에서 γZ는 하중함수에 대한 부분안전계수와 저항함수에 대한 부분안전계수의 곱으로 산정되며, 이상의 결과를 바탕으로 설계 요구조건에 따라 적합한 피복블록의 공칭직경을 산정할 수 있다.
오륙도 방파제에 설치된 고중량 피복블록(설계중량 100 ton급)에 대한 Level I 해석 결과, 설계파랑 작용 시 저항함수에 대한 부분안전계수 값은 1.01, 하중함수에 대한 부분안전계수 값은 1.07로 산정되었으며, 힌남노 내습 시 저항함수에 대한 부분안전계수는 1.02, 하중함수에 대한 부분안전계수는 1.12로 산정되었다.
이러한 결과는 국내 경사식 방파제에 설치된 Tetrapod의 허용파괴확률 40% ~ 50%에 대한 부분안전계수(Kim et al., 2012)와 유사한 값을 보임에 따라 합당한 결과로 판단된다.
3.4 설계수준 Level III 해석결과
본 연구에서는 Monte Carlo Simulation을 수행하기 위해 Fig. 4와 같이 확률변수의 분포함수와 특성치를 따르는 10,000개의 균등난수를 생성하였다. 생성된 난수를 성능함수에 대입하여 반복계산을 통해 식 (24)와 같이 전체 시행횟수에 대한 파괴발생 확률을 근사적으로 산정하였다.
오륙도 방파제에 설치된 고중량 피복블록의 안전성에 대한 Level III 해석결과 힌남노 파랑 적용 시 파괴확률은 1.34%, 설계파랑 적용 시 파괴확률은 1.70%로 나타났다. 해당결과는 Level II 해석 결과보다 다소 크게 산정되었으며, 이는 Level III 해석 시 비선형성을 고려했기 때문으로 판단된다. 해석 결과는 각 조건에 대해 10회 반복수행한 결과치의 평균값을 적용하였으며, Monte Carlo Simulation를 이용한 Level III 해석결과를 Table 6에 제시하였다.
이상의 결과는 Level III 해석을 통해 산정된 국내 무역항 피파블록의 평균 파괴확률인 1.81% (Kim et al. 2009) 보다 낮은 값으로 산정되었으며, 이를 통해 Level III 해석방법에서도 고중량 피복블록이 충분한 안정을 확보하였다고 판단된다.
4. 결 론
신뢰성 해석을 통해 소요안전중량이 확보된 고중량 피복블록 단면의 설계파 및 피해 발생 파랑 내습 시 파괴확률을 산정하였다. Level I 해석결과 국내 경사식 방파제에 설치된 피복블록의 허용파괴확률 40% ~ 50% 범위에서 산정된 부분안전계수 값과 유사하게 산정되었다. Level II 해석 결과, 실제 피해단면에 적용된 고중량 피복블록에 대한 파괴확률은 Hudson식을 통해 결정론적으로 산정된 한계 상태 중량에 비해, 설계파의 경우 21% 더 낮은 값으로 확인되었으며, 피해를 발생시킨 내습파랑에 비해서는 25% 더 낮은 값으로 산정되었다. 또한, Level III 해석 결과에서도 한계상태 조건에 비해 각각 24%씩 낮은 파괴확률이 산정되었다.
이상의 결과로부터 신뢰성 해석을 통한 오륙도 방파제에 설치된 고중량 피복블록의 안전성은 설계에 적용된 설계하중과 성능함수를 구성하는 확률변수들의 특성치가 정확하게 산정되었다는 가정하에 적용된 내습파랑에 대하여 Level I, II, III 해석방법 모두에서 충분한 안전성을 확보한 것으로 나타났다.
하지만, 신뢰성 해석 결과 내습파랑에 대하여 고중량 피복블록의 충분한 소요안전중량 확보에도 불구하고 피복블록의 피해가 발생하였다는 것은 고중량 피복블록 적용 시 피복블록의 안정계수 및 소요안정중량 산정식 등의 결정론적 설계법에 대한 추가 검토 및 신뢰성 설계법 적용성의 검토가 필요할 것으로 판단되며, 수리모형실험을 통해 내파안정성에 대한 검증이 필수적으로 요구되어져야 할 것으로 사료된다.
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