†Corresponding author: 종신회원, 1. 서 론
대양에서 발생하는 대형 LNG선박의 운동은 선박의 안전에 중요한 영향을 미친다. 그 이유는, 선박의 운동은 자유표면효 과를 발생시켜 선체의 복원성을 저감시키고, 승무원의 피로감 을 극대화하기 때문이다. 이는 파랑에 의한 선체운동의 추정 을 통하여 피해를 저감시킬 수 있다(Lee et al. 2015). 특히 어 떠한 파랑의 상황에서도 선체의 운동을 추정할 수 있는 것은 항해사에게 중요한 항해정보를 제공할 수 있다.
본 연구의 목적은 파랑에 의해 발생한 선체의 운동을 시스 템 이론을 이용해 추정하기 위한 것이다. 이러한 연구 목적 달 성을 위해서는, 파랑에 의해 발생한 선체의 운동 데이터 획득 이 필요하고, 데이터 획득 결과를 이용한 선체 운동 추정 모델 의 구현이 필요하다.
선체의 운동 데이터는 ANSYS CFX 17.2를 이용한 전산유 체역학 시뮬레이션을 통해 획득하였고, 선체 운동 추정 모델 은 전자공학에서 증명된 시스템 식별(System Identification) 모델을 이용하였다(Viberg, M, 1995; Kim, B. H. & Park, T. 2007). 특히 시스템은 선형-시불변(Linear-Time Invariant) 성 을 가진다고 정의하였다. 아울러 시스템 식별 모델을 이용한 선체 운동 추정 모델을 구축한 후 추정오차 최소화 기법을 이 용해 파라미터를 추정하였다. 추정한 파라미터를 이용하여 추 정 모델을 구축하고, 구축된 추정 모델을 통해 본 연구의 목적 인 선체 운동을 추정하였다.
한편, 선체는 6자유도운동을 하는 특징이 있다. 하지만 본 연구에서는 6자유도 운동 중 비선형성이 강한 롤 운동만을 선 정하여 LTI 시스템의 특성을 이용한 선체 운동 추정의 실현 가능성을 검토하였다.
2. 연구 방법
2.2 선체운동 추정 모델
제어공학 측면에서, 파(wave)에 의한 선체(hull)의 운동 (motion)은 해석 가능한 시스템으로 묘사할 수 있다.
본 연구에서는 제어공학에서 정의된 단일-입력, 단일-출력 (single-input single-output, SISO)의 선형-시불변 (Linear-Time Invariant, LTI) 시스템을 이용하여 선체 운동 추정 모델을 구성하였다.
Fig. 1은 z -영역(domain)에서 해석된 LTI 시스템의 입출 력 관계를 나타낸 것으로, Xwave (z)는 파랑 신호를 나타내고, Hhull (z)는 시스템(즉, 선체)의 전달함수, Ymotion (z)은 선체 운동을 나타낸다.
Fig. 1에 나타낸 바와 같이, 선체 운동 Ymotion (z)은 LTI 시 스템의 가역적 특성을 이용하여 파랑 신호 Xwave (z)와 전달함 수 Hhull (z)의 곱하기 연산에 의해서 계산할 수 있다. 따라서 선체 운동 추정 모델의 관건은 높은 정밀도의 전달함수 Hhull (z)을 구하는 것이다.
LTI 시스템은 주어진 전달함수에 대해서 입력과 출력 사이 의 관계가 시간에 따라서 변하지 않는 특징(즉, 시-불변)을 갖 기 때문에 입력과 출력 및 전달함수 사이에 가역적 관계가 확 정되어 있다. 이러한 가역적 관계는 다음 식(1)로 설명할 수 있고, Hhull (z) = Ymotion (z)Xwave (z)-1의 관계를 이용하여 전 달함수를 계산할 수 있다.
여기서, Ymotion (z), Xwave (z) , Hhull (z)는 z -영역에서 나타 낸 출력신호, 입력신호 그리고 전달함수를 각각 나타낸다.
2.3 전달함수 추정 방법
위의 식(1)에서, 전달함수 Hhull (z)는 입력 Xwave (z)와 출력 Ymotion (z)가 주어지면 구할 수 있는데, 조건은 z -영역으로 나타낸 LTI 시스템에서 Hhull (z) = Ymotion (z)Xwave (z)-1의 해 가 존재해야 된다. 이러한 조건을 만족하기 위해서는 Hhull (z) 을 구하기 위한 상태 공간(state-space) 방정식의 도입이 필요 하다.
이산 신호처리에서 SISO의 LTI 시스템에 대한 상태 공간 방정식은 다음 식(2)과 같이 나타낼 수 있다.
여기서 u는 입력이고, x는 상태 벡터이며, y는 출력이고, n은 수열의 번호로서 n = 1, 2, 3, ⋯, N (N은 샘플 수)이며, A, B, C, D는 계수 행렬이다(Ljung, L, 1999).
여기서, 상태 방정식을 이용하여 시스템을 해석하는 경우에 는 위의 식(2)의 계수행렬 A, B, C, D을 구하면 되지만, z -영 역에서 해석하기 위해서는 계수행렬을 대신할 수 있는 이산 전달함수 H (z)의 획득이 필요하다.
여기서 L 은 시스템을 묘사하기 위한 섹션(section)의 수를 나타내고, 벡터 a와 b는 다음 식(4)로 정의할 수 있는 전달함 수의 분모 계수들과 분자 계수들로 구성된 것이다. 그리고 z는 복소수를 의미하는 것으로, 일반적으로 z = ejw의 형태를 갖는다.
여기서, n은 계수 b의 차수를 나타내고, m은 계수 a의 차 수를 나타낸다. 위의 식(4)에서 문제는 어떻게 최적의 차수 n 과 m에 대한 계수 a와 b의 값을 구할 것인가이다. 이러한 문제는 식(2)부터 식(4)까지의 과정을 반복하여 구할 수 있는 데, 대단히 복잡한 과정이 필요하다. 그래서 본 연구에서는 MATLAB에서 제공하는 시스템 식별 도구 박스(System Identification Toolbox)의 ‘mpctool’ 을 이용하여 선체 운동 추정 모델의 전달함수 계수를 구하였다(Mathworks, 2015). 그 리고 획득한 전달함수는 선체 운동의 추정률과 극-영점 (pole-zero) 해석을 이용하여 모델의 안정성을 평가하였다. 여 기서 추정률은 손실함수의 개념으로 평균제곱오차 식(5)에 의 하여 도구박스를 이용해 추정하였다.
여기서 E는 손실율, yk는 원래의 신호, tk는 추정된 신호이다.
2.4 실험 데이터
선체 운동 추정 모델의 구현을 위해서는 명확하게 정의된 시간 영역에서의 입출력 신호가 필요하다. 본 연구에서는 ANSYS 상용 프로그램을 이용한 전산유체역학 시뮬레이션을 이용하여 실험 데이터를 획득하였다.
먼저, 입력 신호로서의 파랑 신호는 Table 1과 같이 정하였 다. 파랑 신호는 파고 2.75 미터에 파장 288 미터로 정하였는 데, 이 값은 후술하는 십만 톤 급 LNG 선박의 크기를 고려하 여 임의로 정한 것이다. Fig. 2는 Table 1의 조건을 이용하여 생성한 360초 길이의 파랑 신호를 나타낸다.
그리고 선체 운동 추정에 적용한 선박은 Table 2와 같이 정 하였다. 이 선박은 100,216 톤에 길이가 288 미터이고 폭이 44 미터인 대형 LNG 선으로 선체의 형상은 Delft-Ship을 이용해 제작하였다(Delftship, 2019). 이 선박의 제원은 Kim et el.((2009)이 사용한 K-LNG 선형의 정면도와 이 선박에 대 한 제원과 수리역학 테이블(HHIC, 2009)에서 획득한 것이다.
여기서, Fig. 3은 등 균질(Homogeneous)로 가정한 LNG 선 박을 ANSYS 프로그램을 이용하여 가시화한 결과를 나타낸 것으로, 유체장의 바닥은 심해를 표현하기 위하여 자유 슬립 (free-slip) 조건을 주고 유체장의 측면과 상부는 열린 면으로 설정하여 파랑이 흘러가도록 하였으며 대기압 중의 조건을 부 여한 것이다. 단, 우측 벽면은 파장의 출구로서 깊이에 따른 정수압을 개방된 면으로 부여하였다. 격자를 생성하는 상용 프로그램인 ICEM CFD를 이용하여 전체 유동 영역에는 Tetra Mesh를 생성하고 선체 벽면에는 Prism 격자를 생성하 여 사용한 총 격자수는 약 2,429,959 만개 Nodes이다. 난류 모 델은 SST모델을 사용하였으며, 자유표면의 거동을 모사하기 위해 등 균질 다상유동모델을 사용하였다.
Fig. 4는 시뮬레이션 결과 획득한 선체 운동 중에서 롤 운 동 데이터를 나타낸다. 본 연구에서는 유동장 내의 선체에 선 수미축의 1자유도 회전운동만 가능하도록 설계하여 선체 운동 추정에 롤 운동만을 이용하였는데, 그 이유는 LNG 선박에서 는 자유표면효과가 발생하여 복원력에 영향을 주기 때문이다. 이때 자유표면효과의 영향은 롤 운동 시 이동하는 관성 모멘 트 값을 기반으로 계산하는 점에서 롤 운동은 중요하다. 롤 운 동을 제외한 다른 6자유도 운동에 대해서는 추후 연구를 둔다.
3. 실험 및 결과
3.1 모델의 추정 결과
획득한 입출력 신호를 이용해 전달함수를 획득하였다. 한 개는 시스템 추정의 차수가 높고 다른 하나는 시스템 추정의 차수가 낮은 전달함수이다. 시스템 추정의 차수에 따른 안정 도와 추정률을 비교하기 위해 2가지 경우를 임의로 선정하여 비교하였다.
먼저 10차의 계수 b와 11차의 계수 a를 적용한 전달함수 H1 (z) 계수들의 값을 Table 4에 정리하여 나타냈다.
7차의 계수 b와 8차의 계수 a를 적용한 전달함수 H2 (z)의 들 계수들의 값을 Table 5 에 정리하여 나타냈다.
추정한 전달함수를 기반으로 LTI 시스템의 특성을 이용해 선체 운동을 추정한 후, 실험 데이터로 주어진 선체 운동 과 비교하였다. Fig. 5는 시간 영역에서 시스템 추정의 차수가 높 은 경우의 비교 결과를 나타낸 것으로, 시뮬레이션을 이용해 획득한 데이터와 전달함수를 이용해 획득한 데이터를 (5)의 식을 이용해 비교한 결과 79.5% 일치하였다. 하지만 Fig. 6은 시스템 추정의 차수가 낮은 경우의 비교결과를 나타낸 것으로 시뮬레이션을 이용해 획득한 데이터와 전달함수를 이용해 획 득한 데이터를 (5)의 식을 이용해 비교한 결과 50.0% 일치하 는 결과를 도출하였다.
3.2 모델의 극-영점 해석 결과
획득한 전달함수 모델의 적합성을 판정하기 위하여 극-영 점 해석을 실시하였다. Fig. 7 은 시스템 추정의 차수가 높은 경우의 극-영점 해석 결과를 나타낸 것으로, 단위원 내에 극- 영점이 분포하므로 전달함수 모델이 안정함을 알았다. 하지만 Fig. 8은 시스템 추정의 차수가 낮은 경우의 극-영점 해석 결 과를 나타낸 것으로, 단위원 외부에 영점이 획득되어 해당 모 델이 불안정함을 알았다. Table 6은 차수에 따른 모델의 차이 를 서로 비교한 결과이다. 이러한 비교는 모델의 추정이 유용 성이 있는지 즉, 시스템 추정 차수에 따른 선체 운동 추정 결 과의 차이를 알기 위한 것이다.
Table 6에서, 시스템 추정 차수의 차이에 따라 각각의 모델 들은 추정률과 안정도에 차이를 보였다. 예를 들면 고차원의 시스템 추정 차수를 가진 모델은 79.5%의 유사성을 가진 선체 운동을 추정할 수 있었으며 시스템의 안정도가 높았다. 이에 반하여 저차원의 시스템 추정 차수를 가진 모델은 추정률과 시스템 안정도 모두 상대적으로 낮았다. 그래서 시스템 추정 차수에 따라 추정률과 안정도가 높은 추정이 가능함을 알았다.
4. 결 론
본 연구에서는 선형-시불변(Linear Time-invariant) 시스 템을 이용하여 선체 운동의 전달함수 모델을 제안하고, 이 모 델을 이용하여 선체 운동 시스템의 특성을 전달함수로 추정하 였다. 선체 운동 전달함수 모델을 모델링 한 결과로부터 임의 의 파랑에 의해 발생한 선체의 롤 운동 추정이 가능하였다. 연 구결과를 요약하면 다음과 같다.
첫째, 선체 운동 특성을 추정할 수 있는 전달함수 모델을 제안하였다.
둘째, 제안한 모델을 적용하여 수치적으로 해석하고 추정하 여 유의성 검증을 하였다. 유의성 검증에는 극-영점 해석을 통한 시스템 안정도 검증방법을 사용하였다.
본 연구결과를 통하여, 1) 단일 해양 파 조건하에서 선체의 운동을 추정할 수 있었고, 2) 이를 통해 선체운동 추정모델이 유의성을 가진 모델임을 알았다. 하지만 시스템을 선형 시불 변으로 가정하였으며 SISO라고 가정하였기에 외란 및 과적합 의 한계가 있었다. 향후, 다양한 조건의 해양 파 조건하에서 6 자유도 운동이 다중출력되는 조건의 6자유도 전달함수 추정 모델에 관한 연구를 진행하고자 한다.
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