2.1. 가스발생기

선박용으로 주로 사용되는 터보 샤프트 기관은 Fig. 1과 같이 압축기(C), 연소기(B), 가스발생기 터빈(CT), 동력터빈 (PT)로 구성되며, 압축기와 연소기 그리고 가스발생기 터빈 을 묶어 가스발생기라고 한다.

Fig. 1

Structure of Turbo shaft engine

본 논문에서는 동력터빈은 고려하지 않고, 가스터빈 기관 의 핵심인 가스발생기의 모델만을 얻도록 한다. 가스터빈 기 관이 정상상태를 이탈하여 천이상태로 될 때 가스발생기 회 전수의 변화는 가스발생기 터빈에서 발생하는 힘과 압축기에 서 소비되는 힘이 순간적으로 달라짐으로써 발생하는 것이 며, 이와 같은 터빈과 압축기 사이의 토크 불균형에 의해 가 속이나 감속이 일어나게 된다.

따라서 로터(rotor) 회전수의 변화를 표현하는 방정식(Lee, 2005)은 다음과 같은 토크에 대한 평형식으로 표현할 수 있다.

여기서,τ_T와τ_C는 각각 가스발생기 터빈에서 발생된 토크와 압축기에서 소비된 토크를 나타내며, J_GG와 ω는 각각 가스발 생기의 극관성모멘트와 각속도이다.

가스터빈 기관의 가스발생기 부분의 모델을 얻기 위해 식 (1)을 회전수 N과 연료유량 G_f의 함수로 나타내고, ω=2πN60의 관계를 이용하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

여기서,R = J_GGπ/30 이다.

식 (2)를 선형화하기 위해 동작점 N₀, G_f0 부근에서의 미소 변화량을 ΔN, ΔG_f라 하면 다음과 같이 표현할 수 있다.

식 (3)을 식 (2)의 좌·우변에 대입하고, 우변을 동작점 부 근에서 Taylor급수 전개하면 다음과 같다.

식 (4)를 라플라스 변환하고, 시간지연 요소를 고려하면 가 스발생기의 동역학적 모델은 최종적으로 식 (5)와 같이 된다. 가스터빈 기관에 있어서 시간지연 L은 연료가 연소기에서 연소되어 가스발생기 터빈에 연소가스가 도달되는 시간을 의 미하며 회전수가 증가함에 따라 작아진다. 위와 같은 가스터빈 모델링 방법은 연구소 등에서 연구를 위해 시행되는 일반적인 방법이다(Shon et al., 1998).

여기서, K_E=β / α와 T_E=R/α는 각각 이득과 시정수를 의미한 다. 본 논문에서 K_E와 T_E는 실제 시운전 자료로부터 얻었다.

Table 1은 가스터빈의 동작점을 7000[rpm], 8000[rpm], 9000[rpm]로 설정한 모델인 MD1, MD2, MD3의 이득(K_E), 시정수(T_E), 시간지연(L)을 정리하여 나타낸 것이다.

Table 1

Parameters in local model of gas turbine

2.2. PLA actuator

PLA(Power Lever Angle) 액추에이터는 DC 모터, 모터와 기계적으로 연결되어 미터링 파일럿 밸브(metering pilot valve)를 상하로 작동시키는 레버(lever)로 구성된다. Fig. 2는 PLA 액추에이터 전체 시스템을 나타낸 것이며, DC 모터의 속도제어는 내부적으로 PI 제어기를 사용하고 있다(Fawke et al., 1971).

Fig. 2

PLA actuator system

Table 2는 PLA 액추에이터의 각 구성품의 파라미터 값을 나타낸 것이다.

Table 2

Parameters of a PLA actuator

그림에서 u는 제어입력으로서 NPID 제어기의 출력을 의 미하며, 포화 입력 값은 23[V]이다.

2.3. 미터링 파일럿 밸브

가스터빈 기관에 공급되는 연료유량은 파일럿 밸브의 오리 피스(orifice) 입출구 압력 차이, PLA 액추에이터의 회전각에 따라 변화하는 미터링 밸브의 오리피스 면적에 비례하고, 그 시정수는 아주 작다. 따라서 하나의 단순한 이득값으로 나타 낼 수 있으며, 본 논문에서는 K_MV로 나타내기로 한다.

2.4. 전체시스템의 상태공간 표현

PLA 액추에이터(Fig. 2), 미터링 파일럿 밸브, 가스발생기 와 PID 제어기를 포함하는 전체 제어 시스템은 Fig. 3과 같이 나타낼 수 있다.

Fig. 3

Speed control system for gas turbine engine

Fig. 2와 Fig. 3을 참고하여 상태변수로 x₁ =N, x₂ = θ_m, x₃ = ω_m 그리고 x₄를 정의하고, PID 제어기를 제외한 전체 가스 터빈 기관은 아래와 같은 상태방정식으로 표현할 수 있다.

여기서,

3.1. 비선형 PID 제어기의 구조

본 논문에서는 가스터빈 기관의 회전수를 제어하기 위해 식 (7)로 표시되는 NPID 제어기를 사용하고 설정치 추종 성 능을 개선한다. NPID 제어기의 전달함수 Cs=UsEs 는 LPID 제어기에 있는 세 동작과 동일한 의미를 가지는 비례, 적분, 미분 동작의 병렬결합으로 되어 있다.

여기서 K_p(e),K_i (e),K_d(e,ce)는 오차 e와 오차 변화율 ce의 비선형 함수로 시변이득이다.

3.2. 비선형 PID 제어기의 이득

1) 비선형 비례이득

비례동작 u_p는 응답 속도를 높이기 위해서 오차가 클 때에 비례이득도 크게 해줄 필요가 있다. 그러나 응답이 설정치 부근에 도달해 오차가 작을 때에도 계속 큰 비례이득을 유지 하면 과도한 제어로 오버슈트와 진동현상이 발생할 수 있다.

이 점을 고려해 NPID 제어기의 비례이득 K_p(e)는 e의 크 기에 따라 적절히 조절되는 식 (8)로 정의한다(Lee, 2015).

(8a) Kpe=a1+a2fe

(8b) 단,fe=1−exp−pe2

여기서 a₁, a₂는 사용자에 의해 정해지는 양의 상수이고, f(e)는 지수함수로 기술된다.

Fig. 4는 a₁ = 1, a₂ = 1이고 p= 2, 4, 6일 때 e의 변화량에 따른 제안하는 비례이득 함수 K_p(e)의 모양을 그린 것이다. 그림을 보면 제안하는 비선형 함수 K_p(e)는 식 (8b)의 p에 따라 폭의 변화가 있음을 알 수 있으며 오차의 절대값이 커 질수록 커져 e→∞에서 a₁ + a₂의 값을 가지게 되고, 오차의 절대값이 작아질수록 작아지며 e= 0 일 때 최소값 a₁의 값을 가지게 된다. 본 논문에서는 f(e)의 p= 4로 설정하였다.

Fig. 4

K_p(e) shapes as function of e according to p

2) 비선형 적분이득

적분동작 u_i는 누적오차 값이 클수록 또는 적분이득이 클 수록 더 커진다. 오차 e의 절대값이 클 때에는 적분이득 값 을 줄여 오버슈트 발생에 대비하고, e의 절대값이 작을 때에 는 적분이득 값을 크게 해서 정상상태 오차를 줄이도록 식 (9)를 사용한다(Lee, 2015).

(9) Kie=b1−fe

여기서 K_i (e)는 양의 이득이고, 이때 함수 f(e)는 식 (8b)를 사용한다. Fig. 5는 b= 1이고 p= 2,4,6일 때 e의 변화량에 따 른 K_i (e)의 모양을 그린 것이다. Fig. 5에서 보는 것과 같이 e= 0일 때 최대값이 되고, e가 커질수록 최소값으로 수렴한다.

Fig. 5

K_i (e) shapes as function of e according to p

3) 비선형 미분이득

미분동작 u_d는 오차의 변화율과 미분이득에 비례해서 커지 고, u_p와 u_i가 커지면 출력도 같이 커질 것을 미리 예측하고 제동을 걸게 된다. 전체 제어 사이클 동안 필요 이상의 제동 을 걸면 응답속도가 느려질 수 있으므로 특정 사이클 동안만 제동을 걸면 u_p와 u_i를 더 과감하게 활용할 수 있고 또한 오 버슈트도 줄일 수 있다. 응답이 오차와 오차 변화율의 곱이 양(e× ce> 0)인 영역에서 큰 제동이 걸리도록 식 (10)으로 기술되는 시변 적분이득 함수를 사용한다(Lee, 2015).

(10) Kde,ce=c1+c2fe,c1,e×ce>0elsewhere

여기서 c¹, c₂는 양의 값이고, 비선형 이득 K_d(e,ce)는 오차 e 와 오차의 변화율 ce의 곱이 0보다 클 때에는 c₁ + c₂ f(e)이 된다. 이때 함수 f(e)가 0과 1 사이의 값을 가지므로 e= 0일 때 K_d(e,ce)는 c₁이 되고, e→∞에서 K_d(e,ce)는 c₁ + c₂가 된 다. Fig. 6는 c₁ = 1,c₂ = 1일 때 오차 e와 오차의 변화율 ce를 변화시켜 가며 K_d(e,ce)를 그린 것이다.

Fig. 6

K_d(e) shapes as function of e and ce

3.3. NPID 제어기의 동조

제어기 동조는 전체 제어시스템이 원하는 성능을 갖도록 적절한 방법으로 파라미터를 조정하는 것을 말한다. 앞서 살 펴보았듯이 제안하는 NPID 제어기는 세 시변이득 K_p(e) , K_i (e) , K_d(e,ce)를 가지며 여기에는 모두 5개의 조정 파라미터 {a₁, a₂, b, c₁, c₂}가 존재한다.

본 논문에서는 NPID 제어기의 파라미터를 최적화 하는 문 제를 풀기 위해 성능의 좋고 나쁨을 계량할 수 있는 평가함 수로 식 (11)과 같은 시간가중 절대오차적분(ITAE)을 사용 한다.

여기서 ∅= [a₁, a₂, b, c₁, c₂ ]^T∈R ⁵은 NPID 제어기 파라미터로 구성되는 벡터이고, e(t)는 설정값과 출력 간의 오차이며, 적 분시각 t_f는 이후의 적분값이 무시되어도 좋을 정도로 충분 히 큰 값이다. Φ는 RCGA를 사용하여 식 (11)의 평가함수가 최소가 되도록 구해진다.

4.1. NPID 제어기 파라미터

최적화 도구로 사용하는 RCGA는 집단의 크기 Psize= 50, 교배확률 Pc= 0.9, 돌연변이 확률 Pm= 0.05, 돌연변이 매개 변수 Vm= 5를 사용하였으며 NPID 제어기의 파라미터들은 구간 0.1 ≦ a₁, a₂, b, c₁, c₂ ≦ 15에서 탐색되었다.

Fig. 7에서 Fig. 9는 RCGA가 가스터빈 기관의 동작점 회 전수에 따른 모델(MDi, i=1,2,3)에 대한 NPID 제어기의 파라 미터를 탐색하는 과정을 보여주고 있다. Fig .8

Fig. 7

Parameter tuning of NPID controller for MD1

Fig. 9

Parameter tuning of NPID controller for MD3

Fig. 8

Parameter tuning of NPID controller for MD2

본 논문에서 NPID 제어기와 비교 목적으로 사용하는 Chen 의 적응제어기(Chen, 1999)는 식 (12)로 주어진다.

여기서 u_max와 u_min는 제어입력의 최대값과 최소값을 의미 하고, u˜t는 쌍곡선 탄젠트(hyperbolic tangent) 함수로서 다음과 같이 주어진다.

여기서 e(t)는 설정치와 출력과의 오차, m은 기울기 (slope), θ (t)는 바이어스(bias)를 의미한다. u˜t는 -1과 1사 이의 값을 가지므로 u(t)는 포화기의 제한치 이내로 유지된 다. 식 (13)에서 알 수 있듯이 u˜t는 기울기(m)와 바이어스 (θ (t))의 2개의 조정 파라미터를 가지고 있다. θ (t)의 동조 알고리즘은 다음 식으로 주어진다.

여기서 η>0는 학습률(learning rate)이고, sign∂y∂u는 시 스템의 응답 방향에 따라 결정되는 ±1의 값이다. 가스터빈 기관은 양의 이득을 가지므로 sign∂y∂u는 1이 된다.

RCGA를 기반으로 동조된 NPID 제어기와 비교목적으로 사용되는 Chen의 적응제어기, Ziegler-Nichols(Z-N) 제어기 의 파라미터는 Table 3에서 Table 5에 나타내었다. Table .4

Table 3

Parameter values of controllers for MD1

Table 5

Parameter values of controllers for MD3

Table 4

Parameter values of controllers for MD2

4.2. 성능비교

본 논문에서 제안하는 방법의 유효성을 확인하기 위해 계 단상의 목표값 추종응답 모의실험을 실시하였다. Fig. 10에서 Fig. 12의 (a)는 가스터빈 기관의 각 동작점 회전수 별로 NPID 제어기와 Chen의 적응제어기, Z-N의 PID 제어기의 응답결과를 나타낸 것이다. Fig .11

Fig. 10

Step responses of control system and gains of NPID controller for MD1

Fig. 12

Step responses of control system and gains of NPID controller for MD3

Fig. 11

Step responses of control system and gains of NPID controller for MD2

각 그림의 (b)는 이때 NPID 제어기 이득의 변화를 나타낸 것으로 제어동작 중 오차의 변화에 따라 Fig. 4와 Fig. 5의 비선형 함수와 같은 모양으로 변화하고 있는 모습을 확인할 수 있다. 또한, K_d(e,ce)는 거의 변하지 않는 것으로 보아 미 분제어의 영향은 작음을 알 수 있다.

Table 6에서 Table 8은 각 방법의 성능을 정량적으로 비교 하기 위해 백분율 오버슈트( M_p), 첨두시간( t_p), 도달시간( t_r), 2%정정시간( t_s), 절대오차적분(IAE)를 계산한 결과이다. 이 때 t_r = t₉₀- t₁₀이고, t₉₀과 t₁₀은 각각 출력이 설정치의 10% 와 90%에 도달하는데 걸리는 시간을 의미한다. 표에서 보면 제안한 NPID 제어기 백분율 오버슈트, 도달시간, 정정시간 등 모든 면에서 전반적으로 좋은 성능을 보여주고 있다. Table .7

Table 6

Performance comparison of controllers for MD1

Table 8

Performance comparison of controllers for MD3

Table 7

Performance comparison of controllers for MD2